流体变量

变量	定义
\(\rho_g\)	流体密度
\(\varepsilon_g\)	流体的体积分数（如果没有颗粒则= 1）
\(U_g\)	流体速度
\(\tau\)	粘性应力张量
\(g\)	重力加速度

流体方程

流体质量守恒：

\[\frac{\partial (\varepsilon_g \rho_g)}{\partial t} + \nabla \cdot (\varepsilon_g \rho_g U_g) = 0\]

与双流体模型不同，\(\varepsilon_g = 1 - \varepsilon_s\) 不是一个解变量。相反，\(\varepsilon_s\) 是通过体积过滤从颗粒场中评估得到的，

\[(1 - \varepsilon_g) A (\boldsymbol{x},t) \approx \sum_{i=1}^{N_p} A_i(\boldsymbol{X}_i,t) {\mathcal G} (\left| \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}_i \right|) {\mathcal V}_i\]

其中 \(A_i\) 是一般的颗粒属性，\({\mathcal V}_i\) 是颗粒体积，\(\mathcal G\) 是具有紧支撑的传输核函数——在此为线性帽函数。设定 \(A_i = 1\) 得到局部空隙率。

假设流体相是不可压缩的，\(\frac{D \rho_g}{Dt} = 0\)，则流体质量守恒等价于流体体积守恒：

\[\frac{\partial \varepsilon_g}{\partial t} + \nabla \cdot (\varepsilon_g U_g) = 0\]

流体动量守恒为：

\[\frac{ \partial (\varepsilon_g \rho_g U_g)}{\partial t} + \nabla \cdot (\varepsilon_g \rho_g U_g U_g) + \varepsilon_g \nabla p_g = \nabla \cdot \tau + M_{sg} + \varepsilon_g \rho_g g\]

其中 \(M_{sg} = - M_{gs}\) 是从固体颗粒到流体相的一般化界面动量传递。与 \(\varepsilon_s\) 类似，\(M_{gs}\) 是通过L-E传输核函数，通过设定 \(A_i = F_{gi}\) 决定的，其中 \(F_{gi}\) 是由于流体相作用在第i个颗粒上的力。遵循MFiX经典方法（以及许多其他为高密度比气固流设计的CFD-DEM代码），仅考虑浮力（压力梯度）和稳态阻力：

\[F_{gi} = - \mathcal{V}_i \nabla p_g - \frac{1}{2} C_D \rho_g \boldsymbol{V}_{ig} \left|\boldsymbol{V}_{ig}\right| A_i^{(proj)}\]

其中 \(\boldsymbol{V}_{ig} = \boldsymbol{V}_i - \boldsymbol{U}_g ( \boldsymbol{X}_i )\) 是第i个颗粒相对于流体相的速度（在颗粒位置 \(\boldsymbol{X}_i\) ）。\(F_{gi}\) 通过指定一个阻力系数 \(C_D\) 封闭。目前，MFIX-Exa 包括Wen-Yu、Gidaspow和BVK2阻力定律。

在化学工程文献中，通常将所有与阻力相关的 \(M_{gs}\) 项合并为 \(\beta\)。通过这种简化和一些重新安排，流体动量方程呈现出更方便的形式：

\[\frac{ \partial (\varepsilon_g \rho_g U_g)}{\partial t} + \nabla \cdot (\varepsilon_g \rho_g U_g U_g) + \varepsilon_g \nabla p_g = \nabla \cdot \tau + \sum_p \beta_p (V_p - U_g) + \varepsilon_g \rho_g g\]