流体时间步长

在没有反应的情况下，我们假设流体密度不变。

我们直接从颗粒位置计算流体体积分数。

因此，这里我们关注动量方程的离散化。

在预测器中

• 使用 \(U_g^n\) 定义 \(U^{MAC,n}\)，即用于对流的面心（交错）MAC速度

• 通过设定以下公式来定义新时间状态的近似值 \((\varepsilon_g \rho_g U_g)^{\ast}\)

\[\begin{split}(\varepsilon_g \rho_g U_g)^{\ast} &= (\varepsilon_g \rho_g U_g)^n - \Delta t \left( \nabla \cdot (\varepsilon_g \rho_g U^{MAC} U_g) + \varepsilon_g \nabla {p_g}^{n-1/2} \right) \\ &+ \Delta t \left( \nabla \cdot \tau^n + \sum_p \beta_p (V_p - {U_g}^{\ast}) + \rho_g \varepsilon_g g \right)\end{split}\]

• 通过求解以下方程来投影 \(U_g^{\ast}\)

\[\nabla \cdot \frac{\varepsilon_g}{\rho_g} \nabla \phi = \nabla \cdot \left( \frac{1}{\Delta t} (\varepsilon_g U_g)^{\ast}+ \frac{\varepsilon_g}{\rho_g} \nabla {p_g}^{n-1/2} \right)\]

然后定义

\[U_g^{\ast \ast} = U_g^{\ast} - \frac{\Delta t}{\rho_g} \nabla \phi\]

和

\[{p_g}^{n+1/2, \ast} = \phi\]

在校正器中

• 使用 \(U_g^{\ast \ast}\) 在“新”时间定义 \(U^{MAC,\ast \ast}\)

• 通过设定以下公式来定义新时间状态的新近似值 \((\varepsilon_g \rho_g U_g)^{\ast \ast \ast}\)

\[\begin{split}(\varepsilon_g \rho_g U_g)^{\ast \ast \ast} &= (\varepsilon_g \rho_g U_g)^n - \frac{\Delta t}{2} \left( \nabla \cdot (\varepsilon_g \rho_g U^{MAC} U_g)^n + \nabla \cdot (\varepsilon_g \rho_g U^{MAC} U_g)^{\ast \ast}\right) + \\ &+ \frac{\Delta t}{2} \left( \nabla \cdot \tau^n + \nabla \cdot \tau^{\ast \ast \ast} \right) + \Delta t \left( - \varepsilon_g \nabla {p_g}^{n+1/2,\ast} + \sum_p \beta_p (V_p - {U_g}^{\ast \ast \ast}) + \varepsilon_g \rho_g g \right)\end{split}\]

• 通过求解以下方程来投影 \(U_g^{\ast \ast \ast}\)

\[\nabla \cdot \frac{\varepsilon_g}{\rho_g} \nabla \phi = \nabla \cdot \left( \frac{1}{\Delta t} (\varepsilon_g U_g)^{\ast \ast \ast} + \frac{\varepsilon_g}{\rho_g} \nabla {p_g}^{n+1/2,\ast} \right)\]

然后定义

\[U_g^{n+1} = U_g^{\ast \ast \ast} - \frac{\Delta t}{\rho_g} \nabla \phi\]

和

\[{p_g}^{n+1/2} = \phi\]